Біздің Ғаламның жалпақ, сфералық немесе гиперболалық пішіні?

2024 Автор: Seth Attwood | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-16 16:10

Біздің ойымызша, ғалам шексіз. Бүгінде біз Жердің шар тәрізді екенін білеміз, бірақ біз Әлемнің пішіні туралы сирек ойлаймыз. Геометрияда «таныс» шексіз кеңістікке балама ретінде көптеген үш өлшемді фигуралар бар. Авторлар айырмашылықты ең қолжетімді түрде түсіндіреді.

Түнгі аспанға қарасақ, ғарыш барлық бағытта мәңгілікке жалғасып жатқан сияқты. Біз Әлемді осылай елестетеміз, бірақ бұл шындық емес. Өйткені, кез-келген адам Жерді тегіс деп ойлайтын: жер бетінің қисаюы байқалмайды, ал Жер дөңгелек деген түсінік түсініксіз болып көрінетін.

Бүгінде біз Жер шар пішінінде екенін білеміз. Бірақ біз ғаламның пішіні туралы сирек ойлаймыз. Шар жазық жерді ауыстырғандықтан, басқа үш өлшемді пішіндер «таныс» шексіз кеңістікке балама ұсынады.

Әлемнің пішіні туралы екі сұрақ қоюға болады - бөлек, бірақ өзара байланысты. Біреуі геометрия туралы - бұрыштар мен аудандардың мұқият есептеулері. Екіншісі топология туралы: бөлек бөліктер бір пішінге қалай біріктіріледі.

Космологиялық деректер Ғаламның көрінетін бөлігінің тегіс және біртекті екенін көрсетеді. Кеңістіктің жергілікті құрылымы әр нүктеде және барлық бағытта дерлік бірдей көрінеді. Бұл сипаттамаларға тек үш геометриялық пішін сәйкес келеді - жазық, сфералық және гиперболалық. Келіңіздер, осы пішіндерді кезекпен қарастырайық, космологиялық деректерге негізделген кейбір топологиялық ойлар мен қорытындылар.

Жазық ғалам

Шын мәнінде, бұл мектеп геометриясы. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа дейін, ал шеңбердің ауданы πr2. Жазық үш өлшемді пішіннің қарапайым мысалы - кәдімгі шексіз кеңістік, математиктер оны евклидтік деп атайды, бірақ басқа жазық нұсқалар бар.

Бұл пішіндерді елестету оңай емес, бірақ біз түйсігімізді үш өлшемнің орнына екі өлшемде ойлау арқылы байланыстыра аламыз. Кәдімгі евклидтік жазықтықтан басқа, жазықтықтың бір бөлігін кесіп алып, оның шеттерін желімдеу арқылы басқа да жалпақ пішіндерді жасай аламыз. Төртбұрышты қағазды қиып, оның қарама-қарсы шеттерін таспамен жапсырдық делік. Жоғарғы жиекті төменгі жиекке жабыстырсаңыз, сіз цилиндр аласыз.

Сондай-ақ, оң жақ жиекті солға жабыстыруға болады - содан кейін біз пончик аламыз (математиктер бұл пішінді торус деп атайды).

Сіз: «Бірдеңе өте тегіс емес» деп қарсы шығарсыз. Және сіз дұрыс боласыз. Біз жалпақ торус туралы аздап алдадық. Егер сіз шынымен де осылайша қағаздан торус жасауға тырыссаңыз, сіз біраз қиындықтарға тап боласыз. Цилиндрді жасау оңай, бірақ оның ұштарын желімдеу жұмыс істемейді: қағаз торустың ішкі шеңбері бойымен мыжылады, бірақ сыртқы шеңбер үшін бұл жеткіліксіз болады. Сондықтан сіз серпімді материалдың қандай да бір түрін алуыңыз керек. Бірақ созылу ұзындық пен бұрыштарды, демек, бүкіл геометрияны өзгертеді.

Кәдімгі үш өлшемді кеңістіктің ішінде геометрияны бұзбай, жалпақ материалдан нағыз тегіс физикалық торусты салу мүмкін емес. Тегіс торустың ішінде өмір сүрудің қандай екендігі туралы дерексіз болжау қалады.

Сіз екі өлшемді тіршілік иесі екеніңізді елестетіп көріңіз, оның ғаламы тегіс торус. Бұл ғаламның пішіні жалпақ қағаз парағына негізделгендіктен, біз барлық геометриялық фактілер бірдей болып қалуға дағдыланған - кем дегенде шектеулі масштабта: үшбұрыштың бұрыштары 180 градусқа дейін және т.б. Бірақ жаһандық топологияның кесу және желімдеу арқылы өзгеруімен өмір күрт өзгереді.

Бастау үшін торустың айналмалы және бастапқы нүктеге оралатын түзу сызықтары бар.

Бұрмаланған торда олар қисық болып көрінеді, бірақ жалпақ торустың тұрғындарына олар түзу болып көрінеді. Ал жарық түзу сызық бойымен таралатындықтан, кез келген бағытқа тура қарасаңыз, өзіңізді артыңыздан көресіз.

Түпнұсқа қағазда жарық сенің бойыңнан өтіп, сол жақ шетке өтіп, одан кейін бейне ойынындағыдай оң жақта қайта пайда болғандай.

Бұл туралы ойлаудың тағы бір жолы: сіз (немесе жарық сәулесі) төрт шеттің бірін кесіп өтіп, өзіңізді жаңа бөлмеде табасыз, бірақ шын мәнінде бұл бір бөлме, тек басқа көзқараспен. Осындай ғаламды аралап жүріп, сіз түпнұсқа бөлменің шексіз көп көшірмелерін кездестіресіз.

Бұл қай жерде қарасаңыз да, өз көшірмелерінің шексіз санын алатыныңызды білдіреді. Бұл айна эффектінің бір түрі, тек осы көшірмелер дәл шағылыспайды.

Торуста олардың әрқайсысы бір немесе басқа циклге сәйкес келеді, оның бойымен жарық сізге қайта оралады.

Дәл осылай текшенің немесе басқа қораптың қарама-қарсы беттерін желімдеу арқылы жазық үш өлшемді торус аламыз. Біз бұл кеңістікті кәдімгі шексіз кеңістіктің ішінде бейнелей алмаймыз - ол жай сыймайды - бірақ оның ішіндегі өмір туралы абстрактілі түрде болжауға болады.

Егер екі өлшемді тордағы өмір бірдей тікбұрышты бөлмелердің шексіз екі өлшемді массиві сияқты болса, онда үш өлшемді торустағы өмір бірдей текше бөлмелердің шексіз үш өлшемді массиві сияқты. Сіз де өзіңіздің көшірмелеріңіздің шексіз санын көресіз.

Үш өлшемді торус – ақырлы жазық әлемнің он нұсқасының бірі ғана. Сондай-ақ шексіз жалпақ әлемдер бар - мысалы, шексіз цилиндрдің үш өлшемді аналогы. Бұл дүниелердің әрқайсысының «ой толғаулары» бар өз «күлкі бөлмесі» болады.

Біздің ғалам жазық пішіндердің бірі болуы мүмкін бе?

Біз ғарышқа қарасақ, біз өз көшірмелеріміздің шексіз санын көрмейміз. Қарамастан, жалпақ пішіндерді жою оңай емес. Біріншіден, олардың барлығында евклидтік кеңістіктегідей жергілікті геометрия бар, сондықтан оларды жергілікті өлшемдермен ажырату мүмкін болмайды.

Сіз тіпті өзіңіздің көшірмеңізді көрдіңіз делік, бұл алыс сурет сіздің (немесе тұтастай алғанда галактикаңыздың) алыс өткенге қалай қарағаныңызды ғана көрсетеді, өйткені жарық сізге жеткенше ұзақ жолдан өтті. Мүмкін, біз тіпті өз көшірмелерімізді көреміз - бірақ адам танымастай өзгерді. Оның үстіне, әртүрлі көшірмелер сізден әртүрлі қашықтықта орналасқан, сондықтан олар бір-біріне ұқсамайды. Оның үстіне, соншалықты алыс, біз әлі ештеңе көрмейміз.

Бұл қиындықтарды жеңу үшін астрономдар әдетте өздерінің көшірмелерін іздемейді, бірақ ең алыс көрінетін құбылыстағы қайталанатын ерекшеліктерді іздейді - ғарыштық микротолқынды фон сәулеленуі, бұл Үлкен жарылыстың реликті. Іс жүзінде бұл ыстық және суық дақтардың сәйкес үлгілері бар жұп шеңберлерді іздеуді білдіреді - олар бірдей, тек әртүрлі жағынан ғана деп есептеледі.

Астрономдар дәл осындай іздеуді 2015 жылы Планк ғарыштық телескопының арқасында жүргізді. Олар жалпақ 3D торус немесе басқа жалпақ 3D пішіні - пластина деп аталатын - біз күтетін сәйкес келетін шеңберлердің түрлері туралы деректерді біріктіреді, бірақ олар ештеңе таппады. Бұл дегеніміз, егер біз торуда өмір сүретін болсақ, онда ол соншалықты үлкен болып көрінеді, қайталанатын үзінділер бақыланатын ғаламның сыртында жатыр.

Сфералық пішін

Бізге екі өлшемді шарлар өте жақсы таныс - бұл шардың, апельсиннің немесе Жердің беті. Бірақ егер біздің ғалам үш өлшемді сфера болса ше?

Үш өлшемді шарды салу қиын, бірақ оны қарапайым ұқсастықпен сипаттау оңай. Егер екі өлшемді сфера кәдімгі үш өлшемді кеңістіктегі кейбір орталық нүктеден белгілі бір қашықтықта орналасқан барлық нүктелердің жиынтығы болса, үш өлшемді сфера (немесе «трисфера») кейбір нүктелерден белгілі бір қашықтықта орналасқан барлық нүктелердің жиынтығы болып табылады. төрт өлшемді кеңістіктегі орталық нүкте.

Трисфераның ішіндегі өмір жазық кеңістіктегі өмірден мүлдем өзгеше. Оны елестету үшін, сіз екі өлшемді сферада екі өлшемді тіршілік иесі екеніңізді елестетіңіз. Екі өлшемді сфера - бұл бүкіл Әлем, сондықтан сіз сізді қоршап тұрған үш өлшемді кеңістікті көре алмайсыз және оған кіре алмайсыз. Бұл сфералық ғаламда жарық ең қысқа жолмен жүреді: үлкен шеңберлерде. Бірақ бұл шеңберлер сізге тікелей болып көрінеді.

Енді сіз және сіздің 2D досыңыз Солтүстік полюсте қыдырып жүргеніңізді елестетіп көріңіз және ол серуендеуге шықты. Алыстау, алдымен ол сіздің көру шеңберіңізде бірте-бірте азаяды - кәдімгі әлемдегідей, біз үйреніп кеткендей тез болмаса да. Себебі сіздің көру шеңберіңіз ұлғайған сайын досыңыз оны азырақ алады.

Бірақ сіздің досыңыз экваторды кесіп өткенде, біртүрлі нәрсе болады: ол көлемі ұлғая бастайды, бірақ іс жүзінде ол алыстауды жалғастырады. Бұл сіздің көрнекі шеңберіңізде олардың алатын пайызы өсуде.

Оңтүстік полюстен үш метр жерде сіздің досыңыз сізден үш метр жерде тұрғандай болады.

Оңтүстік полюске жеткенде, ол сіздің бүкіл көрінетін көкжиегіңізді толығымен толтырады.

Оңтүстік полюсте ешкім болмаған кезде, сіздің көрнекі көкжиегіңіз одан да бейтаныс болады - бұл сізсіз. Себебі сіз шығарған жарық қайтып келгенше бүкіл сфераға таралады.

Бұл 3D саласындағы өмірге тікелей әсер етеді. Трисфераның әрбір нүктесінің қарама-қарсы нүктесі бар, егер ол жерде қандай да бір зат болса, біз оны бүкіл аспаннан көреміз. Егер ол жерде ештеңе болмаса, біз өзімізді артқы жағында көреміз - біздің сыртқы келбетіміз әуе шарының үстіне салынған сияқты, содан кейін сыртқа бұрылып, бүкіл көкжиекке үрленеді.

Бірақ трисфера сфералық геометрияның негізгі үлгісі болғанымен, ол жалғыз мүмкін кеңістіктен алыс. Евклид кеңістігінің бөліктерін кесу және желімдеу арқылы әр түрлі жалпақ модельдерді құрастырғанымыздай, трисфераның қолайлы бөліктерін желімдеу арқылы сфералық үлгілерді жасай аламыз. Бұл желімделген пішіндердің әрқайсысы, торус сияқты, «күлкі бөлмесі» әсеріне ие болады, тек сфералық пішіндегі бөлмелердің саны шектеулі болады.

Біздің ғалам шар тәрізді болса ше?

Біздің ең нарциссистіміз де өзімізді түнгі аспанның орнына фон ретінде көрмейді. Бірақ, жалпақ торус жағдайындағы сияқты, біз бір нәрсені көрмеуіміз оның жоқтығын білдірмейді. Сфералық ғаламның шекаралары көрінетін әлемнің шегінен үлкенірек болуы мүмкін, ал фон жай ғана көрінбейді.

Бірақ торусқа қарағанда, сфералық ғаламды жергілікті өлшемдер арқылы анықтауға болады. Сфералық пішіндер шексіз евклидтік кеңістіктен тек ғаламдық топологияда ғана емес, сонымен қатар шағын геометрияда да ерекшеленеді. Мысалы, сфералық геометриядағы түзу сызықтар үлкен шеңберлер болғандықтан, ондағы үшбұрыштар евклидтікке қарағанда «толқын» және олардың бұрыштарының қосындысы 180 градустан асады.

Негізінде, ғарыштық үшбұрыштарды өлшеу - бұл ғаламның қаншалықты қисық екенін тексерудің негізгі жолы. Ғарыштық микротолқынды фондағы әрбір ыстық немесе суық нүкте үшін үшбұрыштың үш жағын құрайтын оның диаметрі мен Жерден қашықтығы белгілі. Біз түнгі аспандағы дақтан пайда болған бұрышты өлшей аламыз - бұл үшбұрыштың бұрыштарының бірі болады. Содан кейін біз бүйірлік ұзындықтардың тіркесімі мен бұрыштардың қосындысы жазық, сфералық немесе гиперболалық геометрияға сәйкес келетінін тексере аламыз (мұнда үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градустан аз).

Бұл есептеулердің көпшілігі қисықтың басқа өлшемдерімен бірге ғаламды не толығымен тегіс, не оған өте жақын деп есептейді. Жақында бір зерттеу тобы 2018 жылы Планк ғарыштық телескопынан алынған кейбір деректер сфералық ғаламның пайдасына көбірек сөйлейді деп ұсынды, дегенмен басқа зерттеушілер ұсынылған дәлелдер статистикалық қатеге жатқызылуы мүмкін деп санайды.

Гиперболалық геометрия

Өздігінен жабылатын шардан айырмашылығы, гиперболалық геометрия немесе теріс қисықтығы бар кеңістік сыртқа ашылады. Бұл кең жиекті қалпақ, маржан рифі мен ер-тоқымның геометриясы. Гиперболалық геометрияның негізгі моделі жазық евклид сияқты шексіз кеңістік болып табылады. Бірақ гиперболалық пішін жазық пішіннен әлдеқайда жылдам сыртқа қарай кеңейетіндіктен, оның геометриясын бұрмалауды қаламасақ, кәдімгі евклид кеңістігіне екі өлшемді гиперболалық жазықтықты да сыйғызуға мүмкіндік жоқ. Бірақ Пуанкаре дискісі деп аталатын гиперболалық жазықтықтың бұрмаланған кескіні бар.

Біздің көзқарасымыз бойынша, шекаралық шеңберге жақын орналасқан үшбұрыштар орталыққа жақын орналасқан үшбұрыштардан әлдеқайда аз болып көрінеді, бірақ гиперболалық геометрия тұрғысынан барлық үшбұрыштар бірдей. Егер біз бұл үшбұрыштарды шын мәнінде бірдей көлемде бейнелеуге тырыссақ - мүмкін серпімді материалды пайдаланып және әрбір үшбұрышты кезекпен үрлеп, орталықтан сыртқа қарай жылжытсақ - біздің дискіміз кең жиекті қалпақшаға ұқсайды және көбірек иіледі. Ал шекараға жақындаған сайын бұл қисықтық бақылаудан шығып кетер еді.

Кәдімгі евклид геометриясында шеңбердің шеңбері оның радиусына тура пропорционал болса, гиперболалық геометрияда шеңбер радиусқа қатысты экспоненциалды түрде өседі. Гиперболалық дискінің шекарасына жақын жерде үшбұрыштар үйіндісі пайда болады

Осы қасиетіне байланысты математиктер гиперболалық кеңістікте адасу оңай дегенді ұнатады. Егер сіздің досыңыз қалыпты евклидтік кеңістікте сізден алыстаса, ол алыстай бастайды, бірақ баяу, өйткені сіздің көру шеңберіңіз соншалықты тез өспейді. Гиперболалық кеңістікте сіздің көру шеңберіңіз экспоненциалды түрде кеңейеді, сондықтан сіздің досыңыз жақын арада шексіз кішкентай даққа дейін қысқарады. Сондықтан, егер сіз оның бағытын ұстанбаған болсаңыз, оны кейінірек табуыңыз екіталай.

Тіпті гиперболалық геометрияда үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градустан аз - мысалы, Пуанкаре дискі мозаикасынан кейбір үшбұрыштардың бұрыштарының қосындысы бар болғаны 165 градус.

Олардың жақтары жанама болып көрінеді, бірақ бұл біз гиперболалық геометрияны бұрмалайтын линза арқылы қарап жатқандықтан. Пуанкаре дискісінің тұрғыны үшін бұл қисықтар шын мәнінде түзу сызықтар болып табылады, сондықтан А нүктесінен В нүктесіне (екеуі де шетінде) жетудің ең жылдам жолы - орталыққа кесу.

Пуанкаре дискісінің үш өлшемді аналогын жасаудың табиғи жолы бар - үш өлшемді шарды алып, оны үш өлшемді пішіндермен толтырыңыз, олар Пуанкаре дискісінің үшбұрыштары сияқты шекаралық сфераға жақындаған сайын біртіндеп азаяды. Сондай-ақ, жазықтықтар мен сфералар сияқты, біз үш өлшемді гиперболалық шардың қолайлы бөліктерін кесіп, оның беттерін желімдеу арқылы басқа үш өлшемді гиперболалық кеңістіктердің тұтас жиынтығын жасай аламыз.

Біздің Ғалам гиперболалық па?

Гиперболалық геометрия тар үшбұрыштары мен экспоненциалды түрде өсіп келе жатқан шеңберлері бар, бізді қоршаған кеңістікке мүлдем ұқсамайды. Шынында да, біз жоғарыда атап өткеніміздей, космологиялық өлшемдердің көпшілігі тегіс ғаламға бағытталған.

Бірақ біз сфералық немесе гиперболалық әлемде өмір сүретінімізді жоққа шығара алмаймыз, өйткені екі әлемнің кішкентай фрагменттері дерлік тегіс болып көрінеді. Мысалы, сфералық геометрияда шағын үшбұрыштардың бұрыштарының қосындысы 180 градустан сәл ғана артық, ал гиперболалық геометрияда ол сәл ғана аз.

Сондықтан да ежелгі адамдар Жерді жазық деп есептеген – Жердің қисықтығы жай көзге көрінбейді. Сфералық немесе гиперболалық пішін неғұрлым үлкен болса, оның әрбір бөлігі соғұрлым жалпақ болады, сондықтан біздің Ғаламның өте үлкен сфералық немесе гиперболалық пішіні болса, оның көрінетін бөлігі жалпаққа соншалықты жақын, оның қисаюын тек өте дәл аспаптармен анықтауға болады, және біз оларды әлі ойлап тапқан жоқпыз. …