Фракталдар дегеніміз не: математиканың сұлулығы және шексіздік

2024 Автор: Seth Attwood | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-16 16:10

Фракталдар бір ғасырдан бері белгілі, жақсы зерттелген және өмірде көптеген қолданылуы бар. Дегенмен, бұл құбылыс өте қарапайым идеяға негізделген: әдемілігі мен әртүрлілігі шексіз көптеген пішіндерді салыстырмалы қарапайым құрылымдардан екі операцияны - көшіру және масштабтау арқылы алуға болады.

Қолымыздағы ағаштың, теңіздің жағасының, бұлттың немесе қан тамырларының қандай ортақтығы бар? Бір қарағанда, бұл нысандардың барлығында ортақ ештеңе жоқ сияқты көрінуі мүмкін. Дегенмен, шын мәнінде, барлық аталған нысандарға тән құрылымның бір қасиеті бар: олар өздеріне ұқсас. Бұтақтан, сондай-ақ ағаштың діңінен кішірек бұтақтар бар, олардан - тіпті кішірек және т.б., яғни бұтақ бүкіл ағаш сияқты.

Қан айналымы жүйесі ұқсас түрде орналасады: артериолалар артериялардан шығады, ал олардан - оттегі мүшелер мен тіндерге енетін ең кішкентай капиллярлар. Теңіз жағалауының спутниктік суреттерін қарастырайық: біз шығанақтар мен түбектерді көреміз; соған қарайық, бірақ құстың көзімен: біз шығанақтар мен мүйістерді көреміз; Енді біз жағажайда тұрып, аяғымызға қарап тұрмыз деп елестетейік: әрқашан суға қалғандарынан ұзағырақ шығып тұратын қиыршық тастар бар.

Яғни, масштабтау кезінде жағалау сызығы өзіне ұқсас болып қалады. Американдық (Францияда өскен) математик Бенуа Мандельброт объектілердің бұл қасиетін фракталдық деп атады, ал мұндай объектілердің өзін - фракталдар (латын тілінен fractus - сынған).

Фрактал дегеніміз не?

Бұл ұғымның қатаң анықтамасы жоқ. Сондықтан «фракталдық» сөзі математикалық термин емес. Әдетте, фрактал келесі қасиеттердің біреуін немесе бірнешеуін қанағаттандыратын геометриялық фигура болып табылады: • Оның кез келген үлкейту кезінде күрделі құрылымы бар (мысалы, кез келген бөлігі ең қарапайым геометриялық фигура болып табылатын түзу сызыққа қарағанда - а сызық сегменті). • (шамамен) өзіне ұқсас. • Топологиялық өлшемнен үлкен бөлшек Hausdorff (фракталдық) өлшемі бар. • Рекурсивті процедуралармен құрастыруға болады.

Геометрия және алгебра

19-20 ғасырлар тоғысында фракталдарды зерттеу жүйелі емес, эпизодтық болды, өйткені бұрынғы математиктер негізінен жалпы әдістер мен теорияларды пайдалана отырып, зерттеуге жарамды «жақсы» объектілерді зерттеді. 1872 жылы неміс математигі Карл Вейерштрасс еш жерде дифференциалданбайтын үздіксіз функцияның мысалын құрады. Дегенмен, оның құрылысы толығымен абстрактілі және қабылдау қиын болды.

Сондықтан 1904 жылы швед Хельге фон Кох еш жерде жанамасыз және оны салу өте қарапайым үздіксіз қисық сызықты ойлап тапты. Оның фракталдық қасиеті бар екені анықталды. Бұл қисықтың нұсқаларының бірі «Кох снежинкасы» деп аталады.

Фигуралардың өзіндік ұқсастығы туралы идеяларды Бенуа Мандельброттың болашақ тәлімгері француз Поль Пьер Леви алды. 1938 жылы ол басқа фракталды – Леви С-қисығын сипаттайтын «Жазық және кеңістіктік қисықтар мен беттер, бүтінге ұқсас бөліктерден тұратын» мақаласын жариялады. Жоғарыда аталған барлық фракталдар шартты түрде конструктивті (геометриялық) фракталдардың бір класына жатқызылуы мүмкін.

Басқа класс - динамикалық (алгебралық) фракталдар, оларға Мандельброт жиыны кіреді. Бұл бағыттағы алғашқы зерттеулер 20 ғасырдың басында басталып, француз математиктері Гастон Юлия мен Пьер Фату есімдерімен байланысты.1918 жылы Джулияның күрделі рационалды функциялардың итерацияларына арналған екі жүз бетке жуық мемуары жарияланды, онда Юлияның жиындары сипатталды - Мандельброт жиынтығымен тығыз байланысты фракталдар тұтас отбасы. Бұл жұмыс Француз академиясының сыйлығымен марапатталды, бірақ онда бірде-бір иллюстрация жоқ, сондықтан ашылған нысандардың сұлулығын бағалау мүмкін болмады.

Бұл жұмыс сол кездегі математиктер арасында Юлияны дәріптегенімен, ол тез ұмытылды. Жарты ғасырдан кейін ғана компьютерлер тағы да назар аударды: олар фрактал әлемінің байлығы мен сұлулығын көрінетін етіп жасады.

Фракталды өлшемдер

Өздеріңіз білетіндей, геометриялық фигураның өлшемі (өлшемдер саны) - бұл фигурада жатқан нүктенің орнын анықтауға қажетті координаталар саны.

Мысалы, нүктенің қисықтағы орны бір координатпен, беттегі (жазықтық болуы міндетті емес) екі координатпен, үш өлшемді кеңістікте үш координатпен анықталады.

Жалпы математикалық тұрғыдан алғанда өлшемді осылай анықтауға болады: бір өлшемді (топологиялық тұрғыдан) объектілер (сегмент) үшін сызықтық өлшемдердің, айталық, екі есе ұлғаюы өлшемнің ұлғаюына әкеледі. (ұзындығы) екі есе, екі өлшемді (квадрат) үшін сызықтық өлшемдердің бірдей ұлғаюы өлшемнің (ауданның) 4 есе, үш өлшемді (куб) үшін - 8 есе ұлғаюына әкеледі. Яғни, «нақты» (Хаусдорф деп аталатын) өлшемді объектінің «өлшемінің» ұлғаюы логарифмінің оның сызықтық өлшемін ұлғайту логарифміне қатынасы ретінде есептеуге болады. Яғни, D сегменті үшін = log (2) / log (2) = 1, жазықтық үшін D = log (4) / log (2) = 2, көлемі үшін D = log (8) / log (2)) = 3.

Енді Кох қисығының өлшемін есептейік, оны құру үшін бірлік сегмент үш тең бөлікке бөлінеді және ортаңғы интервал осы кесіндісі жоқ теңбүйірлі үшбұрышпен ауыстырылады. Минималды сегменттің сызықтық өлшемдерінің үш есе ұлғаюымен Кох қисығының ұзындығы log (4) / log (3) ~ 1, 26-да артады. Яғни, Кох қисығының өлшемі бөлшек!

Ғылым және өнер

1982 жылы Мандельброттың «Табиғаттың фракталдық геометриясы» атты кітабы жарық көрді, онда автор сол кездегі фракталдар туралы барлық дерлік мәліметтерді жинап, жүйелеп, оны жеңіл әрі қолжетімді етіп көрсетті. Өзінің презентациясында Мандельброт негізгі екпінді күрделі формулалар мен математикалық конструкцияларға емес, оқырмандардың геометриялық интуициясына аударды. Автор монографияның ғылыми құрамдас бөлігін шебер сұйылтқан компьютерлік иллюстрациялар мен тарихи ертегілердің арқасында кітап бестселлерге айналды, ал фракталдар қалың жұртшылыққа белгілі болды.

Олардың математик емес адамдар арасындағы жетістігі негізінен орта мектеп оқушысы түсіне алатын өте қарапайым конструкциялар мен формулалардың көмегімен таңғажайып күрделілік пен сұлулық бейнелерін алуына байланысты. Дербес компьютерлер жеткілікті қуатты болған кезде, тіпті өнердегі тұтас бір бағыт пайда болды - фракталдық кескіндеме және оны кез келген компьютер иесі жасай алады. Қазір Интернетте сіз осы тақырыпқа арналған көптеген сайттарды оңай таба аласыз.

Соғыс және бейбітшілік

Жоғарыда атап өткендей, фракталдық қасиеті бар табиғи объектілердің бірі жағалау сызығы болып табылады. Бір қызық оқиға онымен байланысты, дәлірек айтсақ, Мандельброттың ғылыми мақаласына негіз болған оның ұзындығын өлшеу әрекетімен байланысты және оның «Табиғаттың фракталды геометриясы» кітабында да сипатталған.

Бұл өте дарынды және эксцентрик математик, физик және метеоролог Льюис Ричардсон қойған эксперимент. Оның зерттеу бағыттарының бірі екі ел арасындағы қарулы қақтығыстың себептері мен ықтималдығының математикалық сипаттамасын табуға талпыныс болды. Ол ескерген параметрлердің ішінде соғысушы екі елдің ортақ шекарасының ұзындығы болды. Ол сандық эксперименттер үшін деректерді жинаған кезде, ол әртүрлі дереккөздерде Испания мен Португалия арасындағы ортақ шекара туралы деректер өте әртүрлі екенін анықтады.

Бұл оны мынаны ашуға итермеледі: елдің шекараларының ұзындығы біз оларды өлшейтін билеушіге байланысты. Масштаб неғұрлым аз болса, шекара соғұрлым ұзағырақ болады. Бұл жоғары ұлғайту кезінде өлшемдердің кедір-бұдырлығына байланысты бұрын ескерілмеген жағалаудағы иілулерді көбірек есепке алуға болатындығына байланысты. Ал егер масштабтың әрбір ұлғаюымен сызықтардың бұрын есепке алынбаған иілулері ашылатын болса, онда шекаралардың ұзындығы шексіз болып шығады! Рас, іс жүзінде бұл болмайды - біздің өлшемдеріміздің дәлдігі шектеулі шекке ие. Бұл парадокс Ричардсон эффектісі деп аталады.

Конструктивтік (геометриялық) фракталдар

Жалпы жағдайда конструктивті фракталды құру алгоритмі келесідей. Ең алдымен бізге екі қолайлы геометриялық фигуралар қажет, оларды негіз және фрагмент деп атаймыз. Бірінші кезеңде болашақ фракталдың негізі бейнеленген. Содан кейін оның кейбір бөліктері қолайлы масштабта алынған фрагментпен ауыстырылады - бұл құрылыстың бірінші итерациясы. Содан кейін, алынған фигура қайтадан кейбір бөліктерді фрагментке ұқсас фигураларға өзгертеді және т.с.с. Бұл процесті шексіз жалғастырсақ, онда шекте фракталды аламыз.

Мысал ретінде Кох қисығын пайдаланып бұл процесті қарастырайық. Кох қисығының негізі ретінде кез келген қисықты алуға болады («Кох снежинкасы» үшін бұл үшбұрыш). Бірақ біз ең қарапайым жағдаймен - сегментпен шектелеміз. Фрагмент - суреттің жоғарғы жағында көрсетілген үзік сызық. Алгоритмнің бірінші итерациясынан кейін, бұл жағдайда, бастапқы сегмент фрагментпен сәйкес келеді, содан кейін оның әрбір құраушы сегменті фрагментке ұқсас сынық сызықпен ауыстырылады және т.б. Суретте бірінші төрт қадам көрсетілген. бұл процесс.

Математика тілінде: динамикалық (алгебралық) фракталдар

Бұл типтегі фракталдар сызықты емес динамикалық жүйелерді зерттеуде пайда болады (осыдан атауы). Мұндай жүйенің әрекетін күрделі сызықты емес функция (көпмүше) f (z) арқылы сипаттауға болады. Күрделі жазықтықта z0 бастапқы нүктесін алыңыз (бүйірлік тақтаны қараңыз). Енді күрделі жазықтықтағы сандардың осындай шексіз тізбегін қарастырайық, олардың әрқайсысы алдыңғысынан алынған: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).).

Бастапқы z0 нүктесіне байланысты мұндай реттілік басқаша әрекет етуі мүмкін: n -> ∞ сияқты шексіздікке бейім; қандай да бір соңғы нүктеге жақындау; тұрақты мәндердің бірқатарын циклдік түрде қабылдау; күрделірек нұсқалар да мүмкін.

Күрделі сандар

Күрделі сан деп екі бөліктен – нақты және жорамалдан, яғни формальды x + iy қосындысынан тұратын санды айтады (мұнда х және у нақты сандар). мен деп аталады. ойша бірлік, яғни i ^ 2 = -1 теңдеуін қанағаттандыратын сан. Негізгі математикалық амалдар күрделі сандар арқылы анықталады – қосу, көбейту, бөлу, алу (тек салыстыру операциясы анықталмаған). Күрделі сандарды бейнелеу үшін геометриялық кескін жиі пайдаланылады - жазықтықта (оны күрделі деп атайды), нақты бөлік абсциссаға, ал елестету бөлігі ординатаға салынады, ал күрделі сан декарттық нүктеге сәйкес келеді. х және у координаталары.

Осылайша, күрделі жазықтықтың кез келген z нүктесі f (z) функциясының итерациялары кезінде өзіндік мінез-құлық сипатына ие болады және бүкіл жазықтық бөліктерге бөлінеді. Бұл жағдайда осы бөліктердің шекарасында жатқан нүктелер келесі қасиетке ие: ерікті түрде аз орын ауыстыру үшін олардың мінез-құлық сипаты күрт өзгереді (мұндай нүктелер бифуркациялық нүктелер деп аталады). Сонымен, белгілі бір мінез-құлық түрі бар нүктелер жиындары, сондай-ақ бифуркация нүктелерінің жиындары жиі фракталдық қасиеттерге ие болады. Бұл f (z) функциясына арналған Джулия жиындары.

Айдаһарлар отбасы

Негізді және фрагментті өзгерту арқылы сіз конструктивті фракталдардың таңғажайып әртүрлілігін ала аласыз.

Сонымен қатар, ұқсас операцияларды үш өлшемді кеңістікте орындауға болады. Көлемді фракталдардың мысалы ретінде Менгер губкасы, Сьерпинский пирамидасы және т.б.

Айдаһарлар отбасы конструктивті фракталдар деп те аталады. Кейде оларды ашушылардың атымен «Тас жолының айдаһарлары-Хартер» деп атайды (өз пішіні бойынша олар қытай айдаһарларына ұқсайды). Бұл қисық сызықты салудың бірнеше жолы бар. Олардың ең қарапайымы және ең интуитивтісі мынада: жеткілікті ұзын қағаз жолағын алып (қағаз неғұрлым жұқа болса, соғұрлым жақсы) және оны екіге бүктеу керек. Содан кейін оны бірінші рет жасаған бағытта екі рет бүгіңіз.

Бірнеше қайталаудан кейін (әдетте бес-алты бүктемеден кейін жолақ әрі қарай ұқыпты иілу үшін тым қалың болады), жолақты артқа қарай бүгіп, бүктемелерде 90˚ бұрыш жасауға тырысу керек. Содан кейін айдаһардың қисығы профильде шығады. Әрине, бұл фракталдық нысандарды бейнелеуге деген барлық әрекеттеріміз сияқты, тек жуықтау болады. Компьютер бұл процестің тағы да көптеген қадамдарын бейнелеуге мүмкіндік береді және нәтиже өте әдемі фигура.

Mandelbrot жинағы сәл басқаша құрастырылған. fc (z) = z ^ 2 + c функциясын қарастырайық, мұндағы c – күрделі сан. Осы функцияның z0 = 0 тізбегін тұрғызайық, c параметріне байланысты ол шексіздікке ауытқиды немесе шектелген күйінде қалуы мүмкін. Сонымен қатар, бұл реттілік шектелген c барлық мәндері Мандельброт жиынын құрайды. Оны Мандельброттың өзі және басқа математиктер егжей-тегжейлі зерттеп, осы жиынның көптеген қызықты қасиеттерін ашты.

Джулия мен Мандельброт жиындарының анықтамалары бір-біріне ұқсас екені көрінеді. Шын мәнінде, бұл екі жиынтық бір-бірімен тығыз байланысты. Атап айтқанда, Мандельброт жиыны - бұл үшін Julia жиыны fc (z) қосылған c күрделі параметрінің барлық мәндері (жиын кейбір қосымша шарттармен екі ажыратылған бөлікке бөлу мүмкін болмаса, қосылған деп аталады).

Фракталдар және өмір

Қазіргі уақытта фрактал теориясы адам қызметінің әртүрлі салаларында кеңінен қолданылады. Зерттеуге арналған таза ғылыми объектіден және жоғарыда аталған фракталдық кескіндемеден басқа, фракталдар графикалық деректерді қысу үшін ақпарат теориясында қолданылады (мұнда негізінен фракталдардың өзіндік ұқсастық қасиеті қолданылады - ақыр соңында, шағын фрагменттерді есте сақтау үшін. қалған бөліктерді алуға болатын сызба және түрлендірулер, бүкіл файлды сақтауға қарағанда әлдеқайда аз жад қажет).

Фракталды анықтайтын формулаларға кездейсоқ ауытқуларды қосу арқылы кейбір нақты объектілерді – рельеф элементтерін, су объектілерінің бетін, кейбір өсімдіктерді өте орынды жеткізетін стохастикалық фракталдар алуға болады, олар физикада, географияда және компьютерлік графикада үлкен нәтижелерге қол жеткізу үшін сәтті қолданылады. имитацияланған объектілердің нақтымен ұқсастығы. Электроникада фракталдық пішіні бар антенналар шығарылады. Аз орын алып, олар өте жоғары сапалы сигнал қабылдауды қамтамасыз етеді.

Экономистер валюта бағамының қисықтарын сипаттау үшін фракталдарды пайдаланады (Мандельброт ашқан қасиет). Бұл таңғажайып әдемі және әртүрлі фрактал әлеміне шағын экскурсияны аяқтайды.